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1 前言：
沖壓成形工藝是金屬塑性成形中的重要工藝之一。在金屬板材成形中不但應(yīng)用極為廣泛，而且應(yīng)用歷史悠久，古老的沖壓工藝比較成熟，但是，由于金屬成分、組織、變形的復(fù)雜性和數(shù)學(xué)、金屬塑性加工力學(xué)解題手段的局限性，特別是塑料性力學(xué)發(fā)展的緩慢，使得有許多塑性成形理論問(wèn)題并沒(méi)有得到真正解決。在脹形成形理論研究方面，目前還沒(méi)有定形的理論公式，在各種沖壓理論書籍中一般都引用的脹形力計(jì)算公式[1][2][3] ，其中K是考慮脹形程度大小的系數(shù)，表示脹形深度和變形程度；L是脹形區(qū)的周長(zhǎng)，t是材料厚度， 是材料強(qiáng)度極限。K的取值范圍在0.7～1之間，究競(jìng)?cè)《嗝创蠛线m，需要經(jīng)驗(yàn)；脹形區(qū)的周長(zhǎng)L是球形凸模半徑r和包角θ的函數(shù)，是一個(gè)變量，在這里作為常量處理，這些因素必然給脹形力的計(jì)算常來(lái)很大誤差。該公式的另一大缺點(diǎn)是沒(méi)有考慮摩擦的影響，我們所做的實(shí)驗(yàn)表明：摩擦對(duì)脹形的影響是相當(dāng)大的；當(dāng)凸模與工件之間的摩擦為干摩擦?xí)r，工件的脹形深度一般只能達(dá)到球形凸模半徑的三分之一，若用塑料薄膜加磺油作為潤(rùn)滑劑，脹形深度可以翻翻，可達(dá)球形凸模半徑的三分之二。摩擦不同則脹形深度不同，脹形深度是摩擦的函數(shù)；脹形深度不同，變形程度不同，變形程度是摩擦的函數(shù)；摩擦不同則脹形區(qū)的周長(zhǎng)L不同，脹形區(qū)的周長(zhǎng)L也是摩擦的函數(shù)。材料厚度t也受脹形深度的影響，脹形深度越深，材料厚度t越小。脹形力計(jì)算公式 的每一個(gè)因數(shù)都受到摩擦的影響，都有是摩擦拭的函數(shù)，都隨摩擦條件變化而變化，顯然該公式不考慮摩擦的影響是不對(duì)的，摩擦對(duì)脹形力的影響究競(jìng)有多么大，值得研究。因此需要建立一個(gè)考慮摩擦影響的脹形力的理論計(jì)算公式。
脹形力計(jì)算公式 只是一個(gè)最大脹形力的計(jì)算公式，它不能動(dòng)態(tài)地描述脹形力的變化過(guò)程，特別是不能描述脹形力隨脹形深度變化的變化過(guò)程，因此也不能成為模擬脹形過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。計(jì)算機(jī)的數(shù)值模擬需要提供一個(gè)隨脹形深度變化的脹形力的動(dòng)態(tài)函數(shù)，描述脹形力的變化規(guī)律。為此建立一個(gè)考慮摩擦影響的脹形力P和脹形深度h理論函數(shù)關(guān)系是必要的。
脹形力P和脹形深度h理論函數(shù)關(guān)系目前還沒(méi)有見到相關(guān)研究的報(bào)道。脹形力P和脹形深度h理論函數(shù)關(guān)系對(duì)于制定脹形工藝，提高工件質(zhì)量、降低制作成本是很有意義的，這方面的資料少之又少，而且比較零亂，很難找到相關(guān)的研究。不僅在一般沖壓工藝設(shè)計(jì)資料和沖壓理論書上（例如，在李碩本教授的《沖壓工藝學(xué)》、梁炳文教授的《板材成形理論》、汪大年教授的《金屬塑性成形原理》、俞漢清教授的《金屬塑性成形原理》、最新出版的《材料成形原理》等）找不到，即使在《塑性工程學(xué)報(bào)》和《鍛壓技術(shù)》上也查不到。
2 理論推導(dǎo)：
①、建立球形凸模脹形工序的力學(xué)模型，如圖1所示。
 ②、根據(jù)球形凸模脹形工序的力學(xué)模型做出受力分析，建立平衡微分方程, 將各應(yīng)力分量向m點(diǎn)的切線方向投影，根據(jù) 得：
（1）
解此方程得[7]：
（2）
其中：
—為摩擦系數(shù)
r—凸模的球半徑
—為屈服準(zhǔn)則系數(shù)
—屈服應(yīng)力
—為板材的厚度。
—貼模區(qū)沿θ方向分布的正應(yīng)力
將正應(yīng)力 沿整個(gè)貼模區(qū)積分得脹形力P[7]：
 ……….（3） 其中：P—為脹形力
其它符號(hào)的含義見式（2）。
式（3）表示脹形力P與包角θ0的函數(shù)關(guān)系，脹形力P隨包角θ0的變化而變化，包角θ0與脹形深度之間也有一定關(guān)系，脹形深度越深，包角θ0越大，但不是線性關(guān)系。通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出脹形深度h和包角θ0之間存在函數(shù)關(guān)系為：
 (4)
式中：r為球形凸模半徑，
h為脹形深度。
將式（4）的代入式（3）可以得出P=f（h）的函數(shù)關(guān)系，即下式為式（5）：
 …………..（5）
由該式通過(guò)C語(yǔ)言編程可以用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算并繪制出P-h曲線，見圖5的三條理論曲線。
3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
3.1、實(shí)驗(yàn)材料與試件
凸模脹形實(shí)驗(yàn)中所用的材料是10鋼、08F、和08等沖壓成形中的常用鋼。試件由3mm厚的鋼板上裁下，制成圖2狀，所用鋼的組織均為退火組織。
 3.2 設(shè)備、儀器與實(shí)驗(yàn)過(guò)程
凸模脹形實(shí)驗(yàn)是在英國(guó)產(chǎn)的Instron1197電子拉伸試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的。脹形過(guò)程中的摩擦條件為金屬與金屬間的干摩擦。脹形所用模具是自己設(shè)計(jì)加工的模具，凸凹模名義直徑為100mm，如圖3所示。X—Y記錄并顯示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
 3.3檢測(cè)方法與實(shí)驗(yàn)框圖選擇的測(cè)試參數(shù)為脹形力P、脹形深度h。檢測(cè)框圖如圖4所示。
  Instron1197電子拉伸試驗(yàn)機(jī)可以直接將力和位移變?yōu)殡娦盘?hào)，并輸出到X—Y記錄儀上，顯示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)時(shí)脹形力與聲發(fā)射數(shù)據(jù)是同時(shí)測(cè)的，這里只討論脹形力。
4 結(jié)果分析：
圖5中的理論曲線是通過(guò)式（5）所得的理論曲線，實(shí)驗(yàn)曲線是由凸模脹形實(shí)驗(yàn)所得的實(shí)驗(yàn)曲線，在圖5中將這兩種曲線進(jìn)行了比較。
在圖5可以看到有三條理論曲線，這三條理論P(yáng)- 曲線的材料屈服強(qiáng)度 分別為210MPa、270MPa、340MPa，而其它是一致的， 、r=50、t=3、μ=0.1。也就是說(shuō)，這三條理論曲線的β、r、t、μ都相同，不同的只是σs。理論曲線1的σs為210MPa，理論曲線2的σs為270MPa，而理論曲線3的σs為340MPa；其余均為10鋼的5條實(shí)驗(yàn)曲線，這5條實(shí)驗(yàn)曲線比較集中，這說(shuō)明實(shí)驗(yàn)是成功的，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是可信的。這里要說(shuō)明的是，我們之所以將σs分別選為210、270、340MPa，是因?yàn)?0鋼的屈服強(qiáng)度σs為210MPa而它的強(qiáng)度極限σb為340MPa，270約為屈服強(qiáng)度σs和強(qiáng)度極限σb的平均值，這樣做是考慮了材料的硬化。
從圖中可以看出，實(shí)驗(yàn)曲線和理論曲線非常接近，而且隨著脹形深度的增加實(shí)驗(yàn)曲線和理論曲線的變化趨向也基本一致，都是先下凹而后上凸。實(shí)驗(yàn)曲線基本上在理論曲線3和理論曲線2之間變動(dòng)。這說(shuō)明脹形力的真實(shí)值就在理論曲線2和理論曲線3之間。也就是說(shuō)，如果分別將σs等于270或340MPa代入該文所給出的理論公式對(duì)脹形力進(jìn)行計(jì)算，得到兩個(gè)值，真值必定在這兩個(gè)值之間。
從圖中還可以看出，實(shí)驗(yàn)曲線的前半部分靠近理論曲線 3，后半部分更接近理論曲線2，更確切地說(shuō)，在后半部分理論曲線2從5條實(shí)驗(yàn)曲線中間穿過(guò)。這說(shuō)明我們可以用理論曲線3描術(shù)實(shí)驗(yàn)曲線的前半部分，用理論曲線 2描術(shù)實(shí)驗(yàn)曲線的后半部分，這樣更接近真實(shí)P-h曲線。
在脹形后期，按常理由于硬化因素，理論公式中的σs應(yīng)該取值340MPa，實(shí)驗(yàn)曲線的大部分?jǐn)?shù)據(jù)應(yīng)該更接近于理論曲線3，而不是接近理論曲線2，但是事實(shí)是，在脹形的后期，理論曲線2從5條實(shí)驗(yàn)曲線中間穿過(guò)，即實(shí)驗(yàn)曲線更接近于理論曲線2。我們認(rèn)為，這是由于隨著脹形深度的增加而工件的厚度變薄之故。在實(shí)驗(yàn)中，我們注意到，脹形開始時(shí)，工件的厚度為3mm，脹形結(jié)束時(shí)，工件的厚度是2至1.5mm。因此，在脹形后期，實(shí)驗(yàn)曲線更接近理論曲線2是合理的。這同時(shí)也說(shuō)明工件的厚度對(duì)脹形力影響很大。
我們也分析存在誤差的原因。原因有三，①材料的屈服應(yīng)力σs在脹形過(guò)程中是變化的，它不是一個(gè)常量，而且它的變化是非線性的，是上凸的。②各點(diǎn)的摩擦條件是不同的，而且也是一個(gè)變量，是時(shí)間和位置的函數(shù)。③厚度t在變形過(guò)程中也是變化的，而且它的微小變化都將對(duì)脹形力產(chǎn)生重大影響。但是在理論計(jì)算中我們都按常量處理了，這樣必然帶來(lái)誤差（關(guān)于材料的屈服應(yīng)力σs、摩擦條件、厚度對(duì)脹形力影響以后另外撰文討論）。
當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量也存在一定誤差，尤其是脹形變形剛開始的最初幾毫米，由于變形小，脹形力也小，而且還存在彈性彎曲變形，對(duì)于500KN量程的拉伸試驗(yàn)機(jī)而言，讓它精確測(cè)量幾個(gè)KN的脹形力和幾毫米的變形是不可能的，因此試驗(yàn)中的測(cè)量對(duì)于真實(shí)變形存在著一種滯后，如果將實(shí)驗(yàn)曲線沿橫軸向后平行推3━5毫米，或者將理論曲線向前平行推幾毫米，那么實(shí)驗(yàn)曲線將與理論曲線2吻合的更好。從圖5 中可以清楚地看到這一點(diǎn)，因?yàn)椋碚撉�2向前平移幾毫米恰恰落在實(shí)驗(yàn)曲線族中間。也就是說(shuō)，用理論曲線2向前平移幾毫米模擬真實(shí)脹形曲線是可行的。
5.結(jié)論：
5.1脹形力P和脹形深度h理論函數(shù)關(guān)系曲線可以用式子表示
 5.2當(dāng) ，σs取屈服強(qiáng)度和強(qiáng)度極限的平均值時(shí)，P-h理論函數(shù)曲線與10號(hào)鋼的P-h實(shí)驗(yàn)曲線幾乎完全重合。用P-h理論函數(shù)曲線代替P-h實(shí)驗(yàn)曲線不會(huì)有較大誤差。
5.3實(shí)驗(yàn)證明推導(dǎo)出的脹形力理論計(jì)算公式是正確的。
參考文獻(xiàn)：
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[2] 梁炳文，胡世光. 板材成塑性理論. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社 1987
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[4] 王龍甫. 彈性力學(xué) 北京：科學(xué)出版社 1979
[5] 徐芝綸. 彈性力學(xué) 北京： 人民教育出版社 1979
[6] 徐秉業(yè)，陳森燦. 塑性理論基礎(chǔ) 清華大學(xué)出版社 1984
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