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1 前言：
沖壓成形工藝是金屬塑性成形中的重要工藝之一。在金屬板材成形中不但應用極為廣泛，而且應用歷史悠久，古老的沖壓工藝比較成熟，但是，由于金屬成分、組織、變形的復雜性和數學、金屬塑性加工力學解題手段的局限性，特別是塑料性力學發展的緩慢，使得有許多塑性成形理論問題并沒有得到真正解決。在脹形成形理論研究方面，目前還沒有定形的理論公式，在各種沖壓理論書籍中一般都引用的脹形力計算公式[1][2][3] ，其中K是考慮脹形程度大小的系數，表示脹形深度和變形程度；L是脹形區的周長，t是材料厚度， 是材料強度極限。K的取值范圍在0.7～1之間，究競取多么大合適，需要經驗；脹形區的周長L是球形凸模半徑r和包角θ的函數，是一個變量，在這里作為常量處理，這些因素必然給脹形力的計算常來很大誤差。該公式的另一大缺點是沒有考慮摩擦的影響，我們所做的實驗表明：摩擦對脹形的影響是相當大的；當凸模與工件之間的摩擦為干摩擦時，工件的脹形深度一般只能達到球形凸模半徑的三分之一，若用塑料薄膜加磺油作為潤滑劑，脹形深度可以翻翻，可達球形凸模半徑的三分之二。摩擦不同則脹形深度不同，脹形深度是摩擦的函數；脹形深度不同，變形程度不同，變形程度是摩擦的函數；摩擦不同則脹形區的周長L不同，脹形區的周長L也是摩擦的函數。材料厚度t也受脹形深度的影響，脹形深度越深，材料厚度t越小。脹形力計算公式 的每一個因數都受到摩擦的影響，都有是摩擦拭的函數，都隨摩擦條件變化而變化，顯然該公式不考慮摩擦的影響是不對的，摩擦對脹形力的影響究競有多么大，值得研究。因此需要建立一個考慮摩擦影響的脹形力的理論計算公式。
脹形力計算公式 只是一個最大脹形力的計算公式，它不能動態地描述脹形力的變化過程，特別是不能描述脹形力隨脹形深度變化的變化過程，因此也不能成為模擬脹形過程的數學模型。計算機的數值模擬需要提供一個隨脹形深度變化的脹形力的動態函數，描述脹形力的變化規律。為此建立一個考慮摩擦影響的脹形力P和脹形深度h理論函數關系是必要的。
脹形力P和脹形深度h理論函數關系目前還沒有見到相關研究的報道。脹形力P和脹形深度h理論函數關系對于制定脹形工藝，提高工件質量、降低制作成本是很有意義的，這方面的資料少之又少，而且比較零亂，很難找到相關的研究。不僅在一般沖壓工藝設計資料和沖壓理論書上（例如，在李碩本教授的《沖壓工藝學》、梁炳文教授的《板材成形理論》、汪大年教授的《金屬塑性成形原理》、俞漢清教授的《金屬塑性成形原理》、最新出版的《材料成形原理》等）找不到，即使在《塑性工程學報》和《鍛壓技術》上也查不到。
2 理論推導：
①、建立球形凸模脹形工序的力學模型，如圖1所示。
 ②、根據球形凸模脹形工序的力學模型做出受力分析，建立平衡微分方程, 將各應力分量向m點的切線方向投影，根據 得：
（1）
解此方程得[7]：
（2）
其中：
—為摩擦系數
r—凸模的球半徑
—為屈服準則系數
—屈服應力
—為板材的厚度。
—貼模區沿θ方向分布的正應力
將正應力 沿整個貼模區積分得脹形力P[7]：
 ……….（3） 其中：P—為脹形力
其它符號的含義見式（2）。
式（3）表示脹形力P與包角θ0的函數關系，脹形力P隨包角θ0的變化而變化，包角θ0與脹形深度之間也有一定關系，脹形深度越深，包角θ0越大，但不是線性關系。通過簡單的幾何關系可以推導出脹形深度h和包角θ0之間存在函數關系為：
 (4)
式中：r為球形凸模半徑，
h為脹形深度。
將式（4）的代入式（3）可以得出P=f（h）的函數關系，即下式為式（5）：
 …………..（5）
由該式通過C語言編程可以用計算機進行計算并繪制出P-h曲線，見圖5的三條理論曲線。
3實驗驗證
3.1、實驗材料與試件
凸模脹形實驗中所用的材料是10鋼、08F、和08等沖壓成形中的常用鋼。試件由3mm厚的鋼板上裁下，制成圖2狀，所用鋼的組織均為退火組織。
 3.2 設備、儀器與實驗過程
凸模脹形實驗是在英國產的Instron1197電子拉伸試驗機上進行的。脹形過程中的摩擦條件為金屬與金屬間的干摩擦。脹形所用模具是自己設計加工的模具，凸凹模名義直徑為100mm，如圖3所示。X—Y記錄并顯示實驗結果。
 3.3檢測方法與實驗框圖選擇的測試參數為脹形力P、脹形深度h。檢測框圖如圖4所示。
  Instron1197電子拉伸試驗機可以直接將力和位移變為電信號，并輸出到X—Y記錄儀上，顯示實驗結果。當時脹形力與聲發射數據是同時測的，這里只討論脹形力。
4 結果分析：
圖5中的理論曲線是通過式（5）所得的理論曲線，實驗曲線是由凸模脹形實驗所得的實驗曲線，在圖5中將這兩種曲線進行了比較。
在圖5可以看到有三條理論曲線，這三條理論P- 曲線的材料屈服強度 分別為210MPa、270MPa、340MPa，而其它是一致的， 、r=50、t=3、μ=0.1。也就是說，這三條理論曲線的β、r、t、μ都相同，不同的只是σs。理論曲線1的σs為210MPa，理論曲線2的σs為270MPa，而理論曲線3的σs為340MPa；其余均為10鋼的5條實驗曲線，這5條實驗曲線比較集中，這說明實驗是成功的，實驗結果是可信的。這里要說明的是，我們之所以將σs分別選為210、270、340MPa，是因為10鋼的屈服強度σs為210MPa而它的強度極限σb為340MPa，270約為屈服強度σs和強度極限σb的平均值，這樣做是考慮了材料的硬化。
從圖中可以看出，實驗曲線和理論曲線非常接近，而且隨著脹形深度的增加實驗曲線和理論曲線的變化趨向也基本一致，都是先下凹而后上凸。實驗曲線基本上在理論曲線3和理論曲線2之間變動。這說明脹形力的真實值就在理論曲線2和理論曲線3之間。也就是說，如果分別將σs等于270或340MPa代入該文所給出的理論公式對脹形力進行計算，得到兩個值，真值必定在這兩個值之間。
從圖中還可以看出，實驗曲線的前半部分靠近理論曲線 3，后半部分更接近理論曲線2，更確切地說，在后半部分理論曲線2從5條實驗曲線中間穿過。這說明我們可以用理論曲線3描術實驗曲線的前半部分，用理論曲線 2描術實驗曲線的后半部分，這樣更接近真實P-h曲線。
在脹形后期，按常理由于硬化因素，理論公式中的σs應該取值340MPa，實驗曲線的大部分數據應該更接近于理論曲線3，而不是接近理論曲線2，但是事實是，在脹形的后期，理論曲線2從5條實驗曲線中間穿過，即實驗曲線更接近于理論曲線2。我們認為，這是由于隨著脹形深度的增加而工件的厚度變薄之故。在實驗中，我們注意到，脹形開始時，工件的厚度為3mm，脹形結束時，工件的厚度是2至1.5mm。因此，在脹形后期，實驗曲線更接近理論曲線2是合理的。這同時也說明工件的厚度對脹形力影響很大。
我們也分析存在誤差的原因。原因有三，①材料的屈服應力σs在脹形過程中是變化的，它不是一個常量，而且它的變化是非線性的，是上凸的。②各點的摩擦條件是不同的，而且也是一個變量，是時間和位置的函數。③厚度t在變形過程中也是變化的，而且它的微小變化都將對脹形力產生重大影響。但是在理論計算中我們都按常量處理了，這樣必然帶來誤差（關于材料的屈服應力σs、摩擦條件、厚度對脹形力影響以后另外撰文討論）。
當然，實驗中的測量也存在一定誤差，尤其是脹形變形剛開始的最初幾毫米，由于變形小，脹形力也小，而且還存在彈性彎曲變形，對于500KN量程的拉伸試驗機而言，讓它精確測量幾個KN的脹形力和幾毫米的變形是不可能的，因此試驗中的測量對于真實變形存在著一種滯后，如果將實驗曲線沿橫軸向后平行推3━5毫米，或者將理論曲線向前平行推幾毫米，那么實驗曲線將與理論曲線2吻合的更好。從圖5 中可以清楚地看到這一點，因為，理論曲線2向前平移幾毫米恰恰落在實驗曲線族中間。也就是說，用理論曲線2向前平移幾毫米模擬真實脹形曲線是可行的。
5.結論：
5.1脹形力P和脹形深度h理論函數關系曲線可以用式子表示
 5.2當 ，σs取屈服強度和強度極限的平均值時，P-h理論函數曲線與10號鋼的P-h實驗曲線幾乎完全重合。用P-h理論函數曲線代替P-h實驗曲線不會有較大誤差。
5.3實驗證明推導出的脹形力理論計算公式是正確的。
參考文獻：
[1] 汪大年. 金屬塑性成形原理 北京： 機械工業出版社 1995
[2] 梁炳文，胡世光. 板材成塑性理論. 北京：機械工業出版社 1987
[3] 李碩本. 沖壓工藝學 北京：機械工業出版社 1982
[4] 王龍甫. 彈性力學 北京：科學出版社 1979
[5] 徐芝綸. 彈性力學 北京： 人民教育出版社 1979
[6] 徐秉業，陳森燦. 塑性理論基礎 清華大學出版社 1984
[7] 張守茁，席鎮. 球形凸模脹形時脹形力分析計算 內蒙古工業大學學報 2006 第4期
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